今天给各位分享直线的对称式方程的知识,其中也会对直线的对称式方程是点向式方程吗进行解释,如果能碰巧解决你现在面临的问题,别忘了关注本站,现在开始吧!
设直线为ax+by+c=0,直线上一点为P(u, v)
关于点(p, q)对称, P'坐标为(x, y)
则有x=(p+u)/2, y=(q+v)/2,
得u=2x-p, v=2y-q
代入直线方程得:a(2x-p)+b(2y-q)+c=0
即ax+by+(c-ap-bq)/2=0
这就是所求的对称直线的方程。
扩展资料:
表达形式
表达式
1:一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】
,
A1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行
A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合
横截距a=-C/A
纵截距b=-C/B
2:点斜式:y-y0=k(x-x0) 【适用于不垂直于x轴的直线】
表示斜率为k,且过(x0,y0)的直线
3:截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】
表示与x轴、y轴相交,且x轴截距为a,y轴截距为b的直线
4:斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】
表示斜率为k且y轴截距为b的直线
5:两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】
表示过(x1,y1)和(x2,y2)的直线 两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) (x1≠x2,y1≠y2)
6:交点式:f1(x,y) *m+f2(x,y)=0 【适用于任何直线】
表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线
7:点平式:f(x,y) -f(x0,y0)=0【适用于任何直线】
表示过点(x0,y0)且与直线f(x,y)=0平行的直线
参考资料:百度百科——直线方程
举一个实例。把{2x+3y-4z+2=0
;x+2y+3z-1=0
化为对称式
。
方法一:平面
2x+3y-4z+2=0
的法向量为
n1
=(2,3,-4),
平面
x+2y+3z-1=0
的法向量为
n2
=(1,2,3),
因此直线的方向向量为
v
=
n1×n2
=(17,-10,1)(向量叉乘会吧?)
取
x
=
10,y
=
-6,z
=
1
,知直线过点
p(10,-6,1),
所以直线的对称式方程为
(x-10)/17
=
(y+6)/(-10)
=
(z-1)/1
。
方法二:把
z
当已知数,可解得
x
=
17z-7
,y
=
4-10z
,
由此得
(x+7)/17
=
(y-4)/(-10)
=
z
,把最后的
z
改写成
(z-0)/1
,就得结果。
方法三:取
z
的两个值如
z1
=
1
,z2
=
2,
代入原方程可知直线过
a(10,-6,1),b(27,-16,2),
所以直线的方向向量为
ab
=(27-10,-16+6,2-1)=(17,-10,1),
所以直线的方程为
(x-27)/17
=
(y+16)/(-10)
=
(z-2)/1
。
(三个方法得到的结果不一样是吧??这只是形式上不同,本质上它们是同一条直线)
一般方法:任意在已知直线上取两个点,求出两个点关于一点对称的对称点。用中点坐标公式就可以求出来。然后根据求出的两点解方程即可,因为两点确定一条直线
.直接用公式:设已知直线为ax+by+c=0,点为(x0,y0)则对称直线方程为a(2x0-x)+b(2y0-y)+c=0
如下:
直线关于直线对称问题,包含有两种情形:①两直线平行,②两直线相交。对于①,我们可转化为点关于直线的对称问题去求解;对于②,其一般解法为先求交点,再用“到角”,或是转化为点关于直线对称问题。
(1)一般的,求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程,先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式,再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式,化简后即是所求值。
(2)一般的,求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程,先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式,再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式,化简后即是的求值。
(3)一般的,求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程,只需把x换成-x,把y换成-y,化简后即为所求。
(4)一般的,直(曲)线f(x,y)=0关于直线y=x+c的对称直(曲)线为f(y-c,x+c)=0。即把f(x,y)=0中的x换成y-c、y换成x+c即可。
(5)一般的,直(曲)线f(x,y)=0关于直线y=-x+c的对称直(曲)线为f(-y+c,-x+c)。即把f(x,y)=0中的x换成-y+c,y换成-x+c。
例题如下:
例:求直线l1:x-y-1=0关于直线l2:x-y+1=0对称的直线l的方程。
分析 由题意,所给的两直线l1,l2为平行直线,求解这类对称总是,我们可以转化为点关于直线的对称问题,再利用平行直线系去求解,或者利用距离相等寻求解答。
解:根据分析,可设直线l的方程为x-y+c=0,在直线l1:x-y-1=0上取点M(1,0),则易求得M关于直线l2:x-y+1=0的对称点N(-1,2),将N的坐标代入方程x-y+c=0,解得c=3,故所求直线l的方程为x-y+3=0。
有2种简单的方法,详情如图所示
直线关于点对称的直线方程:已知直线l1关于l2与l3对称,若l1为ax+by+c=0,l2为Ax+By+C=0,l3满足(ax+by+c)/(Ax+By+C)=(2Aa+2bB)/(A²+B²)。
一般的,求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程,先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式,再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式,化简后即是所求值。
一般的,求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程,先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式,再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式,化简后即是的求值。
数学:
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段,可以应用于现实世界的任何问题,所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上,数学属于形式科学,而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
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